Trennschärfe (hochauflösende Peilverfahren)


Ein zentraler Vorteil von hochauflösenden gegenüber konventionellen Peilverfahren besteht in der Fähigkeit zeitlich korrelierte Gleichkanalsignale zu trennen und zu peilen. Eingeschränkt wird diese Fähigkeit durch Randbedingungen des Empfangsszenarios wie beispielsweise:

Die Trennschärfe gibt, unter Berücksichtigung der Randbedingungen, ein Aussage überden minimalen Winkelabstand (im Azimut oder der Elevation) im Peilspektrum eines Frequenzkanals an, bei dem die Detektion und Peilung der Gleichkanalsignale noch möglich ist. Am Beispiel des MUSIC-Algorithmus soll im Folgenden der Einfluß der Randbedingungen auf die Trennschärfe am Beispiel von zwei Wellen im Empfangswellenfeld erläutert werden.

MUSIC-Spektrum bei vier Signalen in einem Frequenzbin und korrekt geschätzer Anzahl der Wellen.
MUSIC-Winkelspektrum bei vier zeitlich korrelierten Gleichkanal-Signalen. Die erreichte Trennschärfe (in Grad) gib an wie Nahe die Maxima liegen dürfen um noch unterscheidbar zu sein (x-Achse: Azimut, y-Achse: MLE, z-Achse: Elevation).

Deteketion und Trennung

Zu Beginn der Erläuterung ist eine Begriffsklärung zum Verständnis der Arbeitsweise der Peilverfahren nötig. Die alleinige Detektion (auch Auflösung) von Gleichkanalsignalen ist nicht gleichbedeutend mit der Fähigkeit den getrennten Signalen Peilwerte zuzuweisen. Deshalb ist folgende Unterscheidung notwendig:

    1. Gleichkanalsignale detektieren (also festzustellen, dass ein oder mehrere Signale am Empfangswellenfeld beteiligt sind) und
    2. den detektierten Signalen Peilwerte zuordnen.
Unterschied zwischen Detektion und Trennung von Gleichkanalsignalen.

Je nach Aufgabenstellung unterscheiden sich der rechentechnische Aufwand und die physikalischen Randbedingungen erheblich voneinander.

Zur alleinigen Detektion von Gleichkanalsignalen ist z.B. eine rechentechnische einfach zu realisierende QR-Zerlegung zur Bestimmung der Eigenwerte der Korrelationsmatrix ausreichend. Auch ist die Schärfe der Forderungen die aus den Randbedingungen resultiert bei der alleinigen Detektion abgeschwächt.

Die physikalischen Voraussetzungen für eine erfolgreiche Detektion oder Trennung von Gleichkanalsignalen wird im Folgenden anhand der wichtigsten Randbedingungen erläutert.


zeitliche und räumliche Korrelation

Der Korrelationsgrad der Gleichkanalsignale hat einen direkten Einfluss auf die Trennschärfe. Er spiegelt sich in der Größe und Verteilung der zu den Signalen gehörigen Eigenwerten wieder und hat damit Auswirkungen auf die Entscheidungsschwelle (und damit auf die Anzahl der detektierten Signale) des Wellenschätzers. Ausgehend von einem Mehrwellenszenario mit zwei beteiligten Wellen, aus den Richtungen α1 und α2, und ohne Überlagerung von Rauschen folgt für die Korrelationsmatrix R:

Formel126

Nach der Eigenwertzerlegung der Korrelationsmatrix R werden die Eigenwerte den Signalstärken zugewiesen. Der Korrelationsgrad der Signale spiegelt sich in den Eigenwerten wieder. Für den Zweiwellen-Fall folgt für die Eigenwerte der Korrelationsmatrix:

Formel129

als charakteristisches Polynom (CP) der Matrix R deren Lösungen die gesuchten Eigenwerte sind:

Formel130

Setzt man die aufgelöste Determinante und Spur in die Lösung für das CP ein so erhält man für die beiden Eigenwerte zwei von der zeitlichen und räumlichen Korrelation abhängige Ausdrücke.

Um den Einfluss der räumlichen und zeitlichen Korrelation der beteiligten Signale auf das Trennvermögen des MUSIC-Algorithmus zu untersuchen führt Schmidt [1] eine Kombination der Korrelationen ein. Die kombinierte bzw. gleichwertige (engl. equivalent) Korrelation ist wie folgt definiert:

Formel131

Setzt man die Eigenwerte ein ergibt sich nach einigen Umformungen:

Formel132

Die kombinierte Korrelation ist eine Funktion der räumlichen und zeitlichen Korrelation und des Verhältnisses der Signalstärken beider Signale zueinander. Ihr Wertebereich liegt zwischen 0 (vollständige Orthogonalität der Signale) und 1 (voll korrelierte Signale). Weil die kombinierte Korrelation auch als Verhältnis der beiden Signaleigenwerte beschrieben werden kann ist ein direkter Bezug zur Trennschärfe aufzeigbar. Hierfür wird das Zweiwellenszenario um einen Rauschanteil erweitert. Da der Rauschraum in jeder Dimension der Korrelationsmatrix vorhanden ist erweitert sich obige Gleichung um einen Rauschanteil σ²:

Formel133

bzw. unter Berücksichtigung des Signal-Rauschabstandes (SNR):

Formel134

wobei M für die Anzahl an Dimensionen des Bezugsraums (Anzahl der Antennenelemente) steht.

Eigenwertspektrum einer 4-dimensionalen Korrelationsmatrix bei Vorhandensein von 2 Signalen unterschiedlicher Sendeleistung.

Solange der Signal-Rauschabstand beider Signale dazu führt, das die resultierenden Signaleigenwerte der Korrelationsmatrix größer als die Rauscheigenwerte sind, kann jedes beliebige Größenverhältnis der Eigenwerte (bzw. jeder Korrelationsgrad) durch den Wellenschätzer unterschieden werden. Hierbei ist es egal ob das Eigenwertverhältnis von der zeitlichen oder räumlichen Korrelation oder ungleicher Signalleistung herführt.

Wird der kleinste Signaleigenwert durch den Korrelationsgrad der Signale so nah an die Rauschgrenze (die Varianz des Rauschens) gedrückt, dass er sich in seiner Größe nicht mehr signifkant von der Größe der Rauscheigenwerte unterscheidet ist eine Trennung der Signale nicht mehr möglich. Dies geschieht (aus Signalsicht) bei zunehmenden Grad der kombinierten Korrelation beider Signale und hängt zudem vom Signal-Rauschabstand ab.

Eine geeignete Maßnahme zur Erhöhung der Trennschärfe stellt deswegen die Mittelung der Messvektoren dar, die (unter der Annahme von unkorreliertem, mittelwertrfreien, Rauschen) eine Verbesserung des Signal-Rauschabstandes ermöglicht.


Signal-Rauschabstand

Das Signal-Rauschverhältnis hat einen direkten Einfluß auf die Trennschärfe. Der Wellenschätzer untersucht das Eigenwertspektrum der Korrelationsmatrix und versucht anhand der Größe der Eigenwerte eine Zuordnung der Signale zu Rausch- und Signalraum zu bewerkstelligen.

Festlegung einer Schwelle zur Trennung von Rausch- und Signalraum.
Festlegung einer Schwelle zur Trennung von Rausch- und Signalraum.

Wie im vorangegangenem Abschnitt beschrieben, sind die Eigenwerte der Korrelationsmatrix Funktionen von kombinierter Korrelation und Rauschanteil (der widerrum eine Funktion des Signal-Rauschabstandes ist):

Formel135

Ist der Abstand (die Größe) des kleinsten Signaleigenvektors (aus welchem Grund auch immer) zur Menge der Rauscheigenvektoren zu klein wird dieser dem Rauschraum zugeordnet und kann nicht mehr detektiert werden. Um diese Abstandsforderung mathematisch zu formulieren bedarf es der Untersuchung der Struktur der Korrelationsmatrix.

Die Korrelationmatrix R lässt sich durch Eigenwertzerlegung wie folgt zerlegen (N = Anzahl der aufgenommen Messwerte, M = Anzahl der Elemente der Antennengruppe):

Formel70

Unter der Annahme das im Empfangswellenfeld kein Signal, nur Rauschen vorliegt folgt für die Korrelationsmatrix R (dem Erwartungswert der Datenmatrix X):

Hierbei kann die Korrelationsmatrix als Matrizenprodukt ihrer Rausch(eigen)vektoren s und der Matrix der Rauscheigenwerte ∑ (die im Fall von unkorreliertem weißen Rausch der Einheitsmatrix multipliziert mit der sklaren Rauschleistung entspricht) zerlegt werden. Der Erwartungswert der Korrelationsmatrix entspricht einer Chi-Quadrat-Verteilung [1] mit N Parametern.

Die Spur der Korrelationsmatrix:

ist gleich der Summe aller Eigenwerte:

Formel138

die Parameter der Verteilung sind N (die Anzahl der zugrundeliegenden Datenproben) und M (die Anzahl der Dimensionen des Datenraums). Definiert man den Erwartungswert der Rauscheigenwerte zu:

Formel139

erhält man durch umstellen (Hinweis: der Erwartungswert der Chi-Quadrat-Verteilung ist gleich der Anzahl der Freiheitsgrade)

Formel140und somit:

Formel141

als Erwartungswert für die Größe der Rauscheigenwerte. Zur Detektion von Signalen muss der kleinste Eigenvektor größer als der Erwartungswert der Rauscheigenvektoren sein:

Formel142

Definiert man nun das benötigte Signal-Rauschverhältnis zur Detektion zu:

Formel143

Der Betrag der räumlichen Korrelation (inneres Produkt der Signalvektoren) lässt sich für kleine Winkelabstände der Signalvektoren als:

Formel144

formulieren (δ entspricht der Abstand der Einfallswinkel im Bogenmaß).

Zusammenfassend läßt sich festhalten:

Der benötigte Signal-Rauschabstand zur Detektion von Gleichkanalsignalen ist [1]:

Formel145

Der benötigte Signal-Rauschabstand zur Trennung von Gleichkanalsignalen ist [1]:

Formel146


Anzahl der aufgenommenen Messwerte

Wie in den vorangegangenen Abschnitten erläutert, führt eine Verbesserung des Signal-Rauschabstandes zu einer Vergrößerung des Abstandes von Signal- zu Rauscheigenwerten (unter Annahme eines kleinen Korrelationsgrades der beteiligten Signale). Eine Verbesserung des Signal-Rauschabstandes wird durch Mittelung einer großen Anzahl von aufgenommenen Messwerten erreicht (Annahme: von unkorreliertem, mittelwertfreiem, Rauschen).


grafische Interpretation

Folgende Abbildungen sollen die vorangegangenen Betrachtungen grafisch unterlegen. Hierbei wird zwischen Trennung und Detektion von Gleichkanalsignalen unterschieden. Das Signal-Rauschverhältnis wird durch die skalare Rauschleistung σ berücksichtigt und der Korrelationsgrad der Signale durch die räumliche Korrelation (in Form des Winkelabstandes im Bogenmaß) berücksichtigt. Die Antennengeometrie findet ihren Ausdruck in der Gruppenmannigfaltigkeit.

Benötigter Winkelabstand zur Detektion von 2 Gleichkanalsignalen (hier: mit gleicher Signalleistung) bei gegebener Rauschleistung (rot).
Benötigter Winkelabstand zur Detektion von 2 Gleichkanalsignalen (hier: mit gleicher Signalleistung) bei gegebener Rauschleistung (rot) und Gruppenmannigfaltigkeit (blau).
Benötigter Winkelabstand zur Detektion von 2 Gleichkanalsignalen (hier: mit gleicher Signalleistung) bei gegebener Rauschleistung (rot).
Benötigter Winkelabstand zur Trennung von 2 Gleichkanalsignalen (hier: mit gleicher Signalleistung) bei gegebener Rauschleistung (rot).


 [1] “A Signal Subspace Approach To Multiple Emitter Location And Spectral Estimation”, Ralph Otto Schmidt, Stanford Universität – 1982

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