Rauschen


(siehe auch Rauschraum)

Bei der Auswertung von Peilinformationen kommt es zur Einschränkung der Peilgenauigkeit und Empfindlichkeit der Peilanzeige durch rauschartige Störungen. Beim Rauschen handelt es sich um einen stochastischen Prozess der dem zu peilenden Signal additiv überlagert ist. Die am i-ten Antennenelement gemessene Spannung lässt sich wie folgt formulieren:

Formel80

wobei s(t) den Anteil des Nutzsignals in Form der komplexen Einhüllende, a(α) die, unter Berücksichtigung von Richtwirkung und Antennenposition, gemessene Phase am Antennenelement und n das überlagerte Rauschen des i-ten Empfangselements beschreibt.

Die Quellen des Rauschprozesses sind zum einen im Inneren des Empfangssystems (thermisches Rauschen, Schrot-Rauschen usw.) und zum anderen im Empfangsszenario (äußeres Rauschen: atmosphärisches, galaktisches, industriell erzeugtes Rauschen) zu finden.

Überlagerung von Empfangsrauschen und Systemrauschen zum Messvektor x.
Überlagerung von äußerem und innerem Rauschen und dem Messvektor x.

Schränkt man die Betrachtungen auf inneres Rauschen ein und geht zudem von unkorreliertem  Rauschen mit gleicher Rauschleistung σ in allen Empfangszügen aus führt dieses, abhängig vom Signal-Rauschabstand, zu statistisch unabhängigen Schwankungen der Messsignale x, die in einer Schwankung des Peilwerts resultieren.

Grafisch lässt sich diese Schwankungen wie folgt darstellen: der Schnittpunkt zwischen Gruppenmannigfaltigkeit und Messvektor (hier gleich dem Signalraum, da der Einwellenfall betrachtet wird) ergibt den gesuchten Peilwert α. Durch das überlagerte Rauschen wird der Schnittpunkt um einen Streubereich verunsichert. Die Größe des Streubereichs hängt vom gegebenen Signal-Rauschabstand ab (siehe untenstehende Abbildung).

Einfluß des Rauschens auf die Genauigkeit der Peilwertanzeige. Je kleiner der Signal-Rauschabstand, desto größer der Unschärfebereich (Grau) des Schnittpunkts von Messvektor (rot) und Gruppenmannigfaltigkeit (blau).
Einfluß des Rauschens auf die Genauigkeit der Peilwertanzeige. Je kleiner der Signal-Rauschabstand, desto größer der Unsicherheitsbereich (Grau) des Schnittpunkts von Messvektor (rot, hier gleich dem Signalraum) und Gruppenmannigfaltigkeit (blau).

Bei großen Verhältnissen von Antennendurchmesser zu Wellenlänge kann Rauschen zudem zu Peilwertsprüngen führen.

In der Regel läßt sich das Rauschen als Gaußscher Prozess auffassen. Dies hat den Vorteil, dass dessen Eigenschaften gut bekannt sind und die mathematische Formulierung einfach ist. Deshalb wird auch bei vom gaußschen Rauschprozess abweichenden Störungen häufig auf diesen zurückgegriffen.

Histogramm einer Peilwertaufzeichnung. Die Streung der Peilwerte folgt einem gaußschen Prozess.
Histogramm einer Peilwertaufzeichnung. Die Streung der Peilwerte folgt einer multivarianten (gaußschen) Verteilung. Die Breite der Peilwertstreung ist durch den Signal-Rauschabstand vorgegeben.

Eine stetige Zufallsvariable N folgt dem Gaußschen Prozess (auch Normalverteilung genannt) wenn für ihre Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion gilt:

Formel110

Hierbei steht m für den Erwartungswert und σ² für die Varianz (Dispersion) von n. Ist der Erwartungswert (Mittelwert) gleich 0 (was bei Rauschprozessen angenommen werden kann) und die Varianz gleich 1 spricht man von einem standardnormalverteilten Prozess. Für die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung folgt:

Formel111

Den Zusammenhang zwischen der Peilwertstreuung (Varianz) σ² und dem Signal-Störverhältnis (SNR) liefert die Cramer-Rao-Grenze. Bei gegebener Antennendimension (Kreisgruppe mit einem Durchmesser d und N Antennenelementen mit Rundcharakteristik) und K Messungen an dem Antennenausgängen folgt für die Cramer-Rao-Grenze [1]:

Formel112

wobei ε für die Elevation der einfallenden Welle steht. Die Auswertung obiger Gleichung lässt folgende Schlüsse im Bezug auf die Peilwertstreuung zu:

    • sie wird kleiner, je mehr Messungen einfließen,
    • sie wird kleiner, je mehr Antennenelemente vorhanden sind und
    • sie wird kleiner je größer die Apertur der Antenne ist.
Standardabweichung des Peilwertes
Standardabweichung des Peilwertes, bei Variation von K und N, als Funktion des Signal-Rauschverhältnisses (Vorgaben: Elevation gleich Null und d/λ = 1).

 Stellt man obige Gleichung nach dem Signal-Rauschabstand um und stellt diese als Funktion der Apertur dar, erhält man den für eine vorgegebene Peilwertstreuung nötigen Signal-Rauschabstand in Abhängigkeit der Apertur. Hierbei ist zu beachten, dass die Cramer-Rao-Grenze mit zunehmenden Verhältnis von d/λ unzuverlässiger wird, da die in der Praxis auftretenden Peilwertsprünge (aufgrund der Nebenmaxima im Korrelationsgebirge) nicht in der Cramer-Rao-Grenze modelliert werden.

Die für eine Peilwertstreuung von 2 Grad benötig
Der, für eine Peilwertstreuung von 2 Grad, benötigte Signal-Rauschabstand über der Apertur einer Kreisgruppenantenne (Vorgaben: Elevation gleich Null).

Für Amplitudenverfahren, wie dem Watson-Watt-Peiler ergibt sich die Cramer-Rao-Grenze zu:

Formel113

wobei N=2 zu setzen ist und K wiederum für die Anzahl der zur Messung verwendeten Samples steht. Aus den vorherigen Betrachtungen lässt sich die für den Mittelungsgewinn wichtige Formel:

Formel123

ableiten. Die Varianz des Peilwertes, der aus der Mittelung von K Samples gewonnen wurde, ist indirekt proportional zur Anzahl der zur Peilwertgewinnung gemittelten Samples.

Die Betrachtung der Cramer-Rao-Grenze spielt bei der Funkbeschickung einer Peilanlage eine bedeutende Rolle. So wird für die Empfindlichkeitsmessung der Peilanlage an Peilantennen, unter Vorgabe einer zulässigen Peilwertschwankung (und damit eines benötigten Signal-Rauschabstands der über die Cramer-Rar-Grenze bestimmt werden kann), die minimale Empfangsfeldstärke der Antenne abgeleitet.

Ermittelung des nötigen Signal-Ruaschabstands bei vorgegebener Antennengeometrie und Wellenlänge.
Ermittelung des nötigen Signal-Rauschabstands bei vorgegebener Antennengeometrie und Wellenlänge.

[1] „Optimum Array Processing“,  Harry L. Van Trees, Wilеу-Intеrsсiеnсе – 2002

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