MUSIC


Bei MUSIC (MUltiple SIgnal Characterization) handelt es sich um ein hochauflösendes Peilverfahren dessen Grundlagen 1982 von Ralph Otto Schmidt [1] formuliert wurden. Wie alle hochauflösenden Verfahren ist MUSIC in der Lage die Peilaufgabe vollständig zu lösen d.h. die Parameter aller Signale im Empfangswellenfeld aufzulösen. Hierfür wird die, aus dem Messvektor gewonnene, Korrelationsmatrix einer Hauptachsenanalyse unterzogen. Anschließend wird eine Projektion (ML-Schätzung) der Gruppenmannigfaltigkeit auf den Rauschunterraum der Korrelationsmatrix durchgeführt.

Formel100

Das MUSIC-Verfahren zählt in die Kategorie der auf der Unterraum-Methode basierenden Peilverfahren.

Ausgangspunkt des MUSIC-Verfahrens ist, wie bei allen hochauflösenden Peilverfahren, die aus den zeitlich eingesampelten Messvektoren x berechnete Korrelationsmatrix R.

Vektoraum der Datenmatrix X. Durch eine Hauptachsenanalyse wird eine Merkmalsreduktion der Messpunkte durchgeführt. Hernach sind die Daten auf ihre Hauptrichtungen und Varianzen reduziert.
Vektoraum der Datenmatrix X. Durch eine Hauptachsenanalyse wird eine Merkmalsreduktion der Messpunkte durchgeführt. Hernach sind die Daten auf ihre Hauptrichtungen und Varianzen reduziert. Der Eigenvektor mit der kleinsten Varianz (Länge) ist dem Rauschraum zugeordnet.

Die Messdauer (Anzahl der aufgesampelten Messvektoren, k) spielt eine entscheidende Rolle. Um zu einer hinreichend genauen Abbildung (Schätzung) des Empfangswellenfeldes, in Form der Varianzen und Kovarianzen der Korrelationsmatrix, zu gelangen ist eine ausreichend große Anzahl von Sampels aufzumitteln.

Formel94

Je mehr Information in die Korrelationsmatrix R eingeht, desto präzisier kann deren Eigensystem (Eigenvektoren und Eigenwerte) bestimmt werden. Die richtige Wahl der Mittelungszeit hat eine bedeutende Auswirkung auf die Trennschärfe des MUSIC Algorithmus und die Genauigkeit des Peilergebnisses.

Durch die Berechnung der Korrelationsmatrix liegt eine Datenbasis in Form einer Matrix vor, in welche

    1. die Parameter des Empfangswellenfeldes eingeprägt sind und
    2. Antennen- und Empfängereigenschaften (Empfangszüge) eingegangen sind.

Die Korrelationsmatrix wird einer Hauptachsen- (Karhunen-Loeve) Transformation unterzogen um ihre Hauptachsen (Eigenvektoren bzw. Richtungsvektoren der am Empfangswellenfeld beteiligten Signale) und die zugehörigen Varianzen (Eigenwerte bzw. Signalstärken) zu gewinnen. Die auf die Hauptachsen transformierten Signale sind stets unkorreliert und bilden damit ein Orthogonalsystem. Diese wichtige Eigenschaft ist für die Berechnung des Winkelspektrums vorteilhaft.

Rechenvorschrift zur Lösung der Peilaufgabe nach dem MUSIC-Verfahren.
Rechenvorschrift zur Lösung der Peilaufgabe nach dem MUSIC-Verfahren.

Nach der Eigenwertzerlegung liegen die Eigenvektoren sowie deren Varianzen in Form von Eigenvektoren und Eigenwerten der Korrelationsmatrix vor. Die M Eigenvektoren mit den größten Varianzen werden dem Signalraum zugeordnet. Alle übrigen N-M Dimensionen werden dem Rauschraum zugeordnet und sind gleich der Rauschleistung σ². Die Eigenvektoren des Rauschraums stehen senkrecht auf den Richtungsvektoren der beteiligten Signale [1].

Beziehung der Unterräume der Korrelationsmatrix zueinander.
Beziehung der Unterräume der Korrelationsmatrix zueinander.

Für eine N-dimensionale Korrelationsmatrix R gilt bei Vorhandensein von M unkorrelierten Signalen folgende Definition für die Zusammensetzung  aus Rausch- und Signalraum:

Formel70

Für die korrekte Einteilung der durch die Hauptachsen-Transformation gewonnennen Eigenvektoren in einen der beiden Unterräume der Korrelationsmatrix ist Kenntnis über die Anzahl der im Empfangswellenfeld vorhandenen Signale nötig. Ist die Anzahl der Signale bekannt (a priori) kann die Zuordnung der Eigenvektoren zu Rausch- und Signalunterraum direkt erfolgen. In der Praxis ist dies jedoch unwahrscheinlich. Somit ist eine Schätzung der Anzahl der Signale aus den Messdaten nötig.

Diese Aufgabe wird vom sogenannten Wellenschätzer übernommen. Hierbei handelt es sich um einen Hypothesentest (z.B. AIC, MDL) der durch Auswertung des Eigenwertspektrums eine Trennschwelle zur Unterscheidung festlegt.

Festlegung einer Schwelle zur Trennung von Rausch- und Signalraum.
Festlegung einer Schwelle zur Trennung von Rausch- und Signalraum.

Die Performanz des Wellenschätzers ist vom Empfangsszenario abhängig und wird unter anderem von:

    • der Anzahl der gesampelten Messwerte und
    • dem Signal-Rauschabstand und
    • dem Korrelationsgrad der Signale sowie
    • dem Winkelabstand der Signale zueinander

stark beinflusst. Der Entwurf eines robusten Schätzalgorithmus für eine große Bandbreite von Szenarien ist Stoff einer Vielzahl von wissenschaftlichen Arbeiten.

Für die Schätzung der Anzahl von Signalen im Empfangswellenfeld lässt sich festhalten:

Die Trennschärfe und die Genauigkeit des MUSIC Winkelspektrums steigen mit der Anzahl der Dimensionen des Rauschraums. Bei ungeklärten Verhältnissen ist es besser den Signalraum zu groß zu schätzen (Signaleigenvektoren dem Rauschraum zuzuordnen) als andersherum die Orthogonalität von Rausch- zu Signalraum zu stören (siehe nächster Abschnitt).

Abbildung144
Bestimmung der Welleneinfallswinkel durch Projektion der Gruppenmannigfaltigkeit auf den Rauschraumvektor (zweidimensionaler Signalraum, 3 elementige Antenne).

Zur Bestimmung der Richtung der einfallenden Wellen ist die Tatsache das Signal- und Rauschraum senkrecht aufeinander stehten von großem Vorteil. Bildet man das Skalarprodukt zwischen der der Gruppenmannigfaltigkeit und einem Eigenvektor des Rauschraums liefert die Suche nach dem Minima die gesuchten Welleneinfallsrichungen.

Formel101

Es ist leicht ersichtlich, dass die Anzahl M der beteiligten Wellen stets kleiner ist als die Anzahl N von Antennenelementen, um noch einen Rauschraum zu erhalten.

Der MUSIC-Algorithmus verwendet zur Berechnung des Winkelspektrums die Projektion der Gruppenmannigfaltigkeit auf das quadratische Mittel aller Rauscheigenvektoren (dem kompletten Rauschunterraum) der Korrelationsmatrix.

Geometrische Interpretation des MUSIC-Verfahrens: gesucht wird der Richtungsvektor a(α) der orthogonal auf dem durch die Rauschraumeigenvektoren (rot) aufgespannten Rauschraum steht (Einwellenszenario, dreielementige Antenne).
Geometrische Interpretation des MUSIC-Verfahrens: gesucht wird der Richtungsvektor a(α) der orthogonal auf dem durch die Rauschraumeigenvektoren (rot) aufgespannten Rauschraum steht (Einwellenszenario, dreielementige Antenne).

Obwohl es ausreicht einen Eigenvektor des Rauschraums zu verwenden um die Schnittpunkte der Gruppenmannigfaltigkeit mit dem Signalraum zu bestimmen können deutliche Verbesserungen hinsichtlich der Genauigkeit des Peilergebnisses durch Berücksichtigung aller Rauscheigenvektoren erreicht werden. Dies trifft vor allem für den praktisch wichtigen Fall zu, dass wesentlich weniger Wellen M als Antennenelemente N vorliegen [2]. Die Projektion auf den Rauschunterraum liefert Minima im Nenner und scharfe Zipfel im Ausdruck für das Winkelspektrum [1]:

Formel102


Randbedingungen

Neben den empfangsbedingten Einschränkungen wie der Einhaltung eines ausreichend großen Signal-Rauschabstands und einer korrekt dimensionierten Antenne gelten für das MUSIC-Verfahren eine Reihe von weiteren Randbedingungen die aus den verwendeten mathematischen Hilfsmitteln resultieren. Wichtige Merkmale wie:

    • die korrekte Schätzung der Anzahl der vorhandenen Wellen,
    • eine hohe Trennschärfe und
    • eine hohe Peilschärfe

erfordern genaue Kenntnis über die mathematischen Hintergrund des MUSIC-Verfahrens. So haben falsche Annahmen beim Wellenschätzer einen zu großen bzw. zu kleinen Rauschunterraum zur Folge was wiederum zu einer Verletzung der Orthogonalitätsbedingung zwischen Rausch- und Signalunterraum führen kann und letztendlich in einem vollkommen anderen Winkelsprektrum resultiert.

Für eine optimale Performanz setzt das MUSIC-Verfahren voraus, dass

    1. die verwendeten Antennenelemente unkorreliert sind und die Gruppenmannigfaltigkeit keine Doppeldeutigkeiten aufweist (kollineare Gruppe),
    2. ein unkorrelierter Rauschprozess dem Antennenspannungen überlagert ist,
    3. die Nutzsignale im Beobachtungszeitraum stationär sind,
    4. der geschätzen Korrelationsmatrix eine ausreichende Anzahl von zeitlichen Samples zu Grunde liegen,
    5. die Nutzsignale nicht vollkommen kohärent sind,
    6. der Rauschunterraum mindestens eine Dimension aufweist sowie
    7. die Anzahl der im Empfangswellenfeld vorhandenen Signale bekannt ist.

Jede Nichterfüllung einer oderer mehrerer der genannten Randbedingungen führt zu massiven Einschränkungen hinsichtlich der Performanz der MUSIC-Verfahrens.

(1) Durch die Vorgabe des des MUSIC-Verfahrens das mindestens ein Rauscheigenvektor im Eigensystem der Korrelationsmatrix R vorhanden sein muss resultiert die Randbedingung für die Anzahl der Signale M im Empfangswellenfeld die gleichzeitig analysiert werden können zu:

Formel103

Voraussetzung hierfür ist, dass die N Antennenelemente der Antennengruppe linear unabhängig voneinander sind. Die Unabhängigkeit bedeutet in diesem Fall, dass jedes Antennenelement einen Informationsgehalt in die Betrachtung einbringt, der nicht schon durch andere Elemente bereitgestellt wird (siehe Schaubild linear unabhängige Antennengruppe).

Die Anzahl der durch die Antennegruppe analysierbaren Signale wird durch die Anzahl der linear unabhängigen Antennenelemente bestimmt.

Jede Linearkombination von Antennenelementen spannt keinen eigenen Eigenvektor im Bezugsraum der Korrelationsmatrix auf. Somit verschärft sich die oben genannte Forderung hinsichtlich der Analysekapazität des MUSIC-Verfahrens auf:

Formel104

wobei Σ die Anzahl der Antennenelemente die durch eine Linearkombination anderer, an der Antennengruppe beteiligten Antennenelemente, entstehen repräsentiert.

(2) Ein dem Empfangsszenario überlagerter, mittelwertfreier, Rauschprozess ist Vorraussetzung für die korrekte Peilwertschätzung bei hochauflösenden Peilverfahren. Die Korrelationsmatrix R geht bei Annahme eines solchen Rauschprozesses in die Kovarianzmatrix der Messgröße über. Für Sie gilt unter der Voraussetzung von gleich großen, unkorrelierten Rauschstörungen mit mit der Varianz σ:Formel96

Die weitere Formulierung des Modells des hochauflösenden Peilverfahrens wird durch die bekannten Eigenschaften des Gaußschen Prozesses stark vereinfacht. So kann durch eine ausreichende Mittelung der Samples (4), die zur Bildung der Kovarianzmatrix dienen, der Einfluss des Rauschens komplett unterdrückt (Erwartungswert einer Mittelwertfreien Größe = 0) werden und spielt somit bei der Modellierung des Referenzvektors keine Rolle mehr.

Handelt es sich beim Rauschenprozess um korreliertes „farbiges“ Rauschen bleibt nach der Mittelwertbildung die Vorzugsrichtung des Rauschens zusätzlich zur Richtungsinformation der Signale im Messvektor erhalten. Dies führt bei der Auswertung von Empfangsszenarien mit sehr kleinem Signal-Rauschverhältnis zur Herausbildung von scheinbaren Vorzugsrichtungen in der Anzeige des Peilers die zu Fehlinterpretationen der führen können. Dieses Phänomen kann auch bei der digitalen Signalverarbeitung durch z.B. fehlerhaftes Runden oder Abschneiden von Zwischenergebnissen auftreten (auch wenn ein mittelwertfreien Rauschprozess zugrunde lag).

Des weiteren führt ein korreliertes Rauschen zur Verletzung der Orthogonalitätsbedingung zwischen Signal- und Rauschraum. Dies resultiert in einer fehlerhaften Zuordnung der Eigenwerte zu  Rausch- und Signalraum (und reduziert die Analysekapazität des Peilverfahrens, siehe (1)).

<Bild>

(3,4) Die Schätzung der Kovarianzmatrix ist umso genauer je länger das Empfangszenario beobachtet wird (je mehr zeitliche Samples der Berechnung der Kovarianzmatrix zu Grunde liegen). Liegen im Beobachtungszeitraum (der beim MUSIC Verfahren mindestens 1000 Samples betragen sollte) Signale stationär vor, werden die Eigenvektoren zu diesem Signalen korrekt geschätzt. Wird die Beobachtungszeit zu kurz gewählt, oder geht das Nutzsignal nur in wenige Samples der Kovarianzmatrix ein, kommt es durch eine fehlerhafte Ausprägung des Eigenwertspektrums der Kovarianzmatrix zu falschen Ergebnissen des Wellenschätzers (die Anzahl der im Empfangsfeld geschätzen Wellen ist falsch). Dies führt zu einer unzutreffenden Zuordnungen der Eigenvektoren der Kovarianzmatrix zu Rausch- und Signalraum und damit zu einem verzerrten Peilspektrum.

MUSIC-Spektrum bei vier Signalen in einem Frequenzbin und korrekt geschätzer Anzahl der Wellen.
MUSIC-Spektrum bei vier Signalen in einem Frequenzbin und korrekt geschätzer Anzahl der Wellen (1000 Samples, 20dB SNR, Azimutabstand > 10 Grad, Elevation 0 Grad).
Peilspektrum des MUSIC-Verfahrens bei einer zu geringen Beobachtungszeit des Empfangsszenarios.
MUSIC-Spektrum bei vier Signalen in einem Frequenzbin und korrekt geschätzer Anzahl der Wellen (100 Samples, 20dB SNR, Azimutabstand > 10 Grad, Elevation 0 Grad).

(4) Die Anzahl der Samples die der Berechnung der Kovarianzmatrix zu Grunde liegen bestimmt im wesentlichen die Trennschärfe des MUSIC-Verfahrens sowie die Performanz des Wellenschätzers. Wird die Kovarianzmatrix auf Basis einer kleinen Anzahl von Samples geschätzt kommt es durch die unzureichende Einprägung des Empfangswellenfeld auf die Kovarianzmatrix zu ungenauen Peilergebnissen und Fehlern bei der geschätzten Anzahl der Wellen im Empfangswellenfeld (s. Abbildungen oberhalb).

(5) Vollkommen kohärente Signale (Gleichwellen) resultieren in einer Kovarianzmatrix deren Eigenwerte nicht auf der reellen Achse liegen. In diesem Fall existieren zu einem Eigenvektor zwei Eigenwerte (ein konjugiert komplexes Pärchen) was wiederum eine Diagonalisierung der Kovarianzmatrix, die zur Eigenwertzerlegung nötig ist, unmöglich macht [3]. In der Praxis äußert sich dies in dem Versagen des Wellenschätzers und einem fehlerhaften Winkelsprektrum bei Anwendung des MUSIC-Algorithmus.

(6) Aus der mathematischen Formulierung des MUSIC-Alogrithmus folgt, dass eine Projektion der Gruppenmannigfaltigkeit der Peilantenne auf den Rauschunterraum (der orthogonal zum Signalraum steht) und eine Bestimmung der Schnittpunkte beider zur Lösung der Peilproblems führt. Ist kein Rauschraum vorhanden wird eine Projektion auf den Signalraum (der aus den kleinsten Eigenwerten ermittelt wurde) durchgeführt. Diese führt zu einer falschen Schätzung der Anzahl der am Empfangsfeld beteiligten Wellen und einem falsch ausgeprägten Winkelspektrum.

(7) Kann die Anzahl der im Empfangsfeld vorhandenen Wellen exakt vorhergesagt werden (a priori Schätzung) ist von einem optimalen Resultat des MUSIC-Algorithmus auszugehen.

In der Praxis ist dieses Vorwissen meistens nicht vorhanden. Hier kann eine Abschätzung der maximalen Anzahl der beteiligten Wellen helfen (diese Abschätzung ist legitim solange der Rauschraum nicht zu groß geschätzt wird und damit die Orthogonalitätsbedingung zum Signalraum verletzt wird). Ist dies nicht möglich kann die Anzahl der vorhandenen Signale durch den Wellenschätzer ermittelt werden. Hierbei ist jedoch zu beachten das dieser, je nach eingesetztem Schätzverfahren, auf gewisse Randbedingungen (z.B. dem Einhalten eines minimalen Signal-Störabstandes) angewiesen ist und keinesfalls bei jedem Empfangsverfahren exakte Resultate liefert.


[1] „A Signal Subspace Approach To Multiple Emitter Location And Spectral Estimation“, Ralph Otto Schmidt, Stanford Universität – 1982

[2] „hochauflösende Peilverfahren – eine Einführung“, Franz Demmel, Rohde&Schwarz interne Publikation – 2008

[3] „Lineare Algebra“, Gilbert Strand, Springer – 2003

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