Hauptachsenanalyse


Bei der Hauptachsenanalyse (auch: Hauptachsentransformation, Karhunen-Loève-Transformation) handelt es sich um ein mathematisches Verfahren der mutivarianten Statistik zum Auffinden der Hauptachsen (Eigenvektoren) und Varianzen (Eigenwerte) einer Datenmatrix. Peilverfahren die auf der Unterraum-Methode basieren, nutzen die Hauptachsenanalyse zum bestimmen des Signal– und Rauschunterraums der Korrelationsmatrix R, die aus Datenmatrix X resultiert.

Die Datenmatrix X repräsentiert alle Parameter des Empfangswellenfeldes über den Messzeitraum t vollständig. Sie wird in einer Korrelationsmatrix R zusammengefasst und einer Merkmalsreduktion (Hauptachsenanalyse) unterzogen [2].

Formel91

Die Korrelationsmatrix, die aus der Datenmatrix gewonnen wird, stellt die statistischen Kenngrößen aller an den Antennenelementen einer Gruppenantenne, in k Abtastschritten,  gemessenen Spannungen in Form ihrer Varianzen und Kovarianzen dar:

Formel94

Der letzte Term obiger Gleichung entspricht der Singulärwertzerlegung der Korrelationsmatrix R in einen Rauschraum– und einen Signalraumanteil.

Zur Bestimmung der Lage von Signal- und Rauschraum müssen jene Richtungen im N-dimensionalen Vektorraum gefunden werden, deren Varianzen maximal (Signalraum) bzw. Minimal (Rauschraum) werden. Diese Aufgabe wird von der Hauptachsen-Transformation geleistet. Die Richtungen, für die die Varianz Extremwerte annimmt, werden Hauptachsen genannt. Die auf die Hauptachsen transformierten Signale sind stets unkorreliert [1].

Die Karhounen-Loeve (Hauptachsen-) Transformation besagt, dass die Hauptachsen einer Ansammlung von Datenpunkten (Datenmatrix X) durch die Eigenvektoren der zugehörigen Korrelationsmatrix gegeben sind. Die Varianzen in Richtung der Hauptachsen sind durch die zugehörigen Eigenwerte festgelegt [1].

Vektoraum der Datenmatrix X. Durch eine Hauptachsenanalyse wird eine Merkmalsreduktion der Messpunkte durchgeführt. Hernach sind die Daten auf ihre Hauptrichtungen und Varianzen reduziert.
Vektoraum der Datenmatrix X. Durch die Hauptachsenanalyse wird eine Merkmalsreduktion der Messpunkte x(t) durchgeführt. Hernach sind die Daten auf ihre Hauptrichtungen (Geraden, blau und rot) und Varianzen reduziert.

Nach dem Auffinden aller Eigenvektoren und den zugehörigen Eigenwerten ist das Eigensystem der Korrelationsmatrix bekannt:

Formel70

Die Eigenvektoren mit den größten Eigenwerten (Varianzen) werden dem Signalraum zugeordnet. Alle übrigen Dimensionen werden durch den Rauschraum aufgefüllt, der orthogonal zum Signalraum liegt. Für eine N-dimensionale, quadratische, Korrelationsmatrix R gilt bei Vorhandensein von M Signalen folgende Definition für die Trennung von Rausch- und Signalraum:

Formel71

Die Aufgabe aus dem Eigenwertspektrum der Korrelationsmatrix die Verteilung der Eigenwerte in einen Rausch- und einen Signalraum vorzunehmen obligt einem Wellenschätzer. Dieser ordnet den die Eigenwerte, je nach Größe, dem Rausch- oder Signalraum zu.

Sind Rausch- und Signalraum korrekt bestimmt können die Parameter des Empfangswellenfeldes durch Anwendung von Unterraum-Methoden wie dem MUSIC-Verfahren bestimmt werden.


[1] „hochauflösende Peilverfahren – eine Einführung“, F. Demmel – Rohde & Schwarz
[2] die Korrelationsmatrix R weist stehts eine hermitesche Form auf und ist damit   diagonalisierbar.

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