Korrelationsmatrix


Bei der Korrelationsmatrix R handelt es sich um eine N×N dimensionale Matrix die aus der Datenmatrix X, des in k Abtastschritten gesampelten N-dimensionalen Messvektors, gewonnen wird. Sie bildet den Ausgangspunkt für die Berechnung der hochauflösenden Peilverfahren, die auf Basis der Unterraum-Methode alle Parameter des Empfangswellenfeldes bestimmen.

Formel91

Die Datenmatrix charakterisiert das Empfangswellenfeld über den Messzeitraum vollständig.

zeitlicher Verlauf der an den Sensoren gemessenen Fußpunktspannung.
Grafische Darstellung der Datenmatrix X als zeitlicher Verlauf der an den Sensoren gemessenen Fußpunktspannung (hier: drei Sensoren).

Für den Messvektor, als Repräsentation der Ausgangspannung der Antennengruppe zum Zeitpunkt t gilt:

Formel82

Für die Datenmatrix X folgt:

Formel83

In Vektorschreibweise kann die Datenmatrix wie folgt formuliert werden:

Formel92

In Matrizenscheibweise folgt:

Formel93

Mit steigender Messdauer (tκ) wird die Datenmatrix X  immer größer, daher ist es sinnvoll anstelle der Auswertung einzelner Abtastwerte die statistischen Kenngrößen der Datenmatrix auszuwerten. Hierzu bedient man sich der Korrelationsmatrix R.

Formel91

Diese stellt die statistischen Kenngrößen aller an den Antennenelementen einer Gruppenantenne gemessenen Spannungen in Form ihrer Varianzen und Kovarianzen dar.

Formel94

Das Systemrauschen kann oftmals als identisch in allen Empfangszügen angenommen werden und resultiert, wenn es die einzige Rauschquelle ist, in einem Rauschanteil der einer Diagonalmatrix entspricht. Sind die Rauschanteile aller Züge gleich handelt es sich beim Rauschanteil um die Einheitsmatrix multipliziert mit der Varianz des Rauschens. Fasst man zudem den die Signalstärken beschreibenden Term:

Formel95

zur Matrix F der Signalvarianzen zusammen folgt für die Korrelationsmatrix R:

Formel96

Auf der Hauptdiagonalen der Kovarianzmatrix liegen die skalaren Signalstärken der am Empfangswellenfeld beteiligten Signale, die zeitliche Korrelation der Signale untereinander ist durch die Elemente Abseits der Hauptddiagonalen beschrieben (siehe auch Korrelationsgrad).

Die Form der Korrelationsmatrix (unter vorliegenden Randbedingungen gleich der Kovarianzmatrix) gleicht dem Ergebnis der Singulärwertzerlegung von R. Durch die Hauptachsenanalyse der Korrelationsmatrix können die Eigenvektoren (s, die Lage des Signal– und Rauschraumes) und die Eigenwerte (λ, Signalamplituden) des Empfangswellenfeldes bestimmt werden.

Formel70

Die Korrelationsmatrix ist stehts hermitescher Form und weist folgende Eigenschaften auf:

    1. sie ist diagonalisierbar,
    2. ihr Eigenwertspektrum liegt auf der reellen Achse,
    3. die Eigenvektoren bilden eine Orthogonalbasis und
    4. die geometrische Vielfachheit der Eigenvektoren entspricht 1.

Unterraum-Methoden wie, MUSIC oder die Methode nach Pisarenko nutzen die Eigenwertzerlegung der Korrelationsmatrix um die Einfallsrichtungen und Amplituden aller Signale im Empfangswellenfeld (eines Frequenzkanals) zu schätzen.

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