Rauschraum


Als Rauschraum bezeichnet man einen (N minus M)-dimensionalen Unterraum der N-dimensionalen Korrelationsmatrix. Zur Bestimmung der Lage des Rauschraumes ist eine Hauptachsentransformation der Korrelationsmatrix erforderlich. Die Korrelationsmatrix R wird aus dem Messvektor gewonnen.

Formel70

Zum Rauschraum zählen jene Richtungen (Eigenvektoren des Eigensystems der Korrelationsmatrix) deren Varianzen (Eigenwerte) am kleinsten sind.

    zwei dimensionaler Signalraum (blaue Fläche) aufgespannt durch die Signalraum-Eigenvektoren (s, lila) umrahmt von zeitlichen Verlauf des N-dimensionalen Messvektors (x, dunkelblau)
Zweidimensionaler Signalraum (blaue Fläche) aufgespannt durch die Signalraum-Eigenvektoren (s, lila) umrahmt von zeitlichen Verlauf des dreidimensionalen Messvektors (x, dunkelblau). Die Der Rauschraum (rot) ist eindimensional.

Peilverfahren, die auf der Auswertung der Korrelationsmatrix der Antennengruppe basieren (sogenannte Unterraum-Methoden), nutzen den Rauschraum und dessen Schnittpunke mit der Gruppenmannigfaltigkeit um die Richtungen der einfallenden Wellen zu bestimmen (z.B.: MUSIC). Hierbei machen Sie sich die Eigenschaft des Rauschraums, orthogonal auf dem Signalraum zu stehen, zu nutzen.

Fallen M nichtkorrelierte (linear unabhängige) Signale auf eine Antennengruppe mit N Antennenelmenten ein, so spannen die Signale einen M dimensionalen Unterraum auf. Füllt der Signalraum nicht alle Dimensionen des Bezugsraumes auf, so belegt der Rauschraum die restlichen Dimensionen des Bezugsraumes.

Messvektor bei zweidimensionalen Signalraum und additiv überlagertem Rauschen. Der Rauschraum füllt die verbleibende Dimension des dreidimensionalen Bezugsraums auf.
Messvektor bei zweidimensionalen Signalraum (Signaleigenvektoren, lila) und additiv überlagertem Rauschen. Der Rauschraum (rot) füllt die verbleibende Dimension des dreidimensionalen Bezugsraums auf.

Die am Ausgang einer N-elementigen Antennengruppe gemessene Spannung lässt sich in Vektorschreibweise wie folgt formulieren (siehe Messvektor für weitere Erläuterungen):

Formel89

Der Messvektor setzt sich aus einem Signal– und einem Rauschanteil zusammen. Als Quelle des Rauschvektors n kommen zwei Prozesse in Betracht:

  1. das Rauschen in den Zügen des Empfangssystems (Systemrauschen) und
  2. der Rauschanteil im Messvektor hervorgerufen durch das Empfangsfeld in dem die Antenne platziert ist (Empfangsrauschen)
Überlagerung von Empfangsrauschen und Systemrauschen zum Messvektor x.
Überlagerung von Empfangsrauschen und Systemrauschen zum Messvektor x.

Das Systemrauschen kann oftmals als identisch in allen Empfangszügen angenommen werden und resultiert, wenn es die einzige Rauschquelle ist, in einem Rauschanteil der einer Diagonalmatrix entspricht. Sind die Rauschanteile aller Züge gleich handelt es sich beim Rauschanteil um die Einheitsmatrix multipliziert mit der Varianz des Rauschens.

Formel90

Systemrauschen kann über die Zeit varrieren und ist abhängig von den Parametern des Empfangszüges (AGC, Vorselektionsfilter usw.).

Empfangsrauschen kann in den meisten Fällen als ungerichtet angesehen werden (Ausnahme bilden extrem niederfrequente Empfangsfelder wie Echolot). Während das Systemrauschen als unkorreliert angesehen werden kann, ist es möglich das durch das Empfangsfeld aufgenommenes Rauschen eine korrelierte Komponente hinzufügt zum Rauschraum hinzufügt. Folgende Abbildungen sollen die Eigenschaften von korreliertem und unkorreliertem Rauschen verdeutlichen:

Unkorreliertes Rauschen (links) ist kugelförmig darstllbar. Korreliertes Rauschen hat eine Vorzugsrichtung in der die Varianz des Rauschens größer ist.
Unkorreliertes Rauschen (links) ist kugelförmig darstellbar. Korreliertes Rauschen hat eine Vorzugsrichtung in der die Varianz größer ist (Ellipsoid, rechts).

Wie aus den vorangegangenene Überlegungen ersichtlich ist, führt korreliertes Rauschen zu einer Drehung des Messvektors in die Vorzugsrichtung des Rauschens und somit zu Peilfehlern. Diese Fehler resultieren aus der Tatsache, dass Referenzmodelle (z.B.: die Gruppenmannigfaltigkeit) von Antennengruppen keinen Rauscheinfluß modellieren. Es wird stehts von mittelwertfreien, gausschen Rauschprozessen ausgegangen, die bei zeitlicher Mittelung des Messvektors, keinen Einfluß auf das Peilergebnis haben.

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