Messvektor


Werden die N Antennenelemente einer Antennengruppe zum Zeitpunkt t abgetastet resultiert daraus ein N-dimensionaler Vektor der die Fußpunktspannungen jedes Elementes repräsentiert. Dieser Messvektor repräsentiert alle dem Wellenfeld entnommenen Proben zum Abtastzeitpunkt und enthält somit Informationen über die Parameter des unbekannten Wellenfeldes wie:

    • die Anzahl der vorhandenen Signale,
    • das Azimut, die Elevation und Polarisation der Signale sowie
    • die Amplitude der Signale.

Die Information wird in Form von Amplitude und Phase der komplexwertigen Antennenspannung repräsentiert.

Aufgabe eines Funkpeilers ist es aus den Messvektor oben genannte Parameter des Wellenfeldes zu bestimmen. Hierzu wird der Messvektor entweder direkt ausgewertet (Interferometerpeiler, korrelativer Interferometerpeiler) oder, durch Bildung der Korrelationsmatrix der Messvektoren, weiteren Untersuchung unterzogen (siehe hochauflösende Peilverfahren).


mathematische Herleitung

Als zeitlicher Momentanwert der Lösungsfunktion der Wellendifferenzialgleichung ergibt sich bei Betrachtung der elektrischen Feldstärke E in Punkt P des Empfangswellenfeldes:

Formel109

wobei z für die Ausbreitungsrichtung der Welle im Bezug auf den Ursprung des Koordinatensystems steht.

Um den Zusammenhang zwischen den Parametern des Wellenfeldes und dem Messvektor herzustellen wird die elektrische Feldstärke (die proportional zur Fußpunktspannung eines Antennelementes ist) am Ort des Antennenelementes berechnet. Hierzu wird die Fernfeldgleichung formuliert. Für die Fußpunktspannung des i-ten Antennenelements folgt nach Transformation obiger Gleichung in Polarkoordinaten des Bezugssystems (siehe folgende Abbildung):

Formel74

Antennenelemente im Empfangsfeld der Welle (blau, Einwellenszenario).
Antennenelemente im Empfangsfeld der Welle (blau, Einwellenszenario).

Wird die Betrachtung im Basisband fortgesetzt und, der einfachheithalber angenommen, das sich Sender und Antennenelemente in einer Ebene befinden (Elevation ψ entfällt) folgt für die Fußpunktspannung:

Formel75Der Term:

Formel76

beschreibt die skalare Signalstärke des empfangenen Signals. Der Betrag r(t) kann durch eine Amplitudenmodulation und die Phase p(t) durch eine Frequenzmodulation moduliert sein.

Die Richtcharakteristik des i-ten Antennenelements wird durch den, vom Einfallswinkel der Welle abhängigen, Term:

Formel77

beschrieben. Er kann sowohl eine Amplitude (Richtwirkung der Antenne) und/oder eine Phaseninformation (Verkopplungseffekte) enthalten. Handelt es sich bei der verwendeten Antenne um eine richtungsunabhängige Antenne („Omni“-Element) entfällt dieser Term. Der Ausdruck:

formel78

beschreibt die Phasenverschiebung zwischen einem Bezugspunkt und der Antennenposition und hängt vom Einfallswinkel (Azimut α) und der Antennenpostion (β und r) ab. Für die weiteren Betrachtungen wird von einer linear unabhängigen Antennengruppe ausgegangen.

Fasst man die richtungsabhängigen Größen zusammen ergibt sich für die Fußpunktspannung des i-ten Empfangselements:

Formel79

Der Empfangskanal fügt der Fußpunktspannung aufgrund von Eigenrauschen aktiver Elemente eine Rauschkomponente hinzu:

Formel80

Werden die vorherigen Betrachtungen auf eine Antennengruppe mit N Elementen angewendet folgt für den Messvektor nach Übergang in die Vektorschreibweise und unter Anwendung der Schmalbandnäherung:

Formel81

Der Vektor a(α) wird auch als Richtungsvektor bezeichnet. Er charakterisiert die Antennengruppe bei Welleneinfall aus einer Richtung α vollständig (siehe Gruppenmannigfaltigkeit). Ausformuliert und unter der Anahme von richtungsunabhängigen Antennencharakteristiken für alle Elemente folgt:

Formel82

Die Datenaufnahme (das „sampeln“) an der Antennengruppe erfolgt nicht zeitkontinuierlich sondern äquidistanten Abtastschritten k. Somit erhält man über die Zeit t eine Datenmatrix X der Dimension k×N.

Formel83

Die Datenmatrix X beschreibt das Empfangsfeld und seine Parameter über der Zeit t vollständig. Aus dem Verlauf der Messvektoren kann, je nach Szenario, direkt oder durch Weiterverarbeitung der Datenmatrix auf  die Parameter des Empfangsfeldes geschlossen werden.


grafische Interpretation

Für jeden Zeitpunkt t stellt der Messvektor einen Punkt im N-dimensionalen Raum dar. Dieser Punkt bewegt sich (die Datenmatrix beschreibt diese Bewegung) in diesem Raum. Seine Bewegung ist jedoch nicht vollkommen frei, sondern vorbestimmt durch das im Empfangsfeld vorherrschende Signalszenario.

zeitlicher Verlauf der an den Sensoren gemessenen Fußpunktspannung.
Zeitlicher Verlauf der an den Sensoren gemessenen Fußpunktspannung (Mehrwellenfall).

Die N-dimensionale Kurve wird geprägt durch die statistischen Größen (Varianzen, Richtungen) des vorherrschenden Signalszenarios. Für ein besseres Verständnis der Auswirkung des Empfangsszenarios und den daraus resultierenden Messvekor wird im folgenden die Ausgangspannungen einer Antennengruppe untersucht:

Empfangsfeld zum Mehrwellenszenario.
Empfangsfeld zum Mehrwellenszenario.

In den abgestasteten Fußpunktspannungen der Antennenelemente überlagern sich die Amplituden und Phasen der einzelnen Wellen zum Zeitpunkt t.

Formel84

Der Messvektor folgt somit einer Kurve die den Linearkombination aller beteiligten Wellen entspricht. Die M beteiligten Wellen spannen den Signalraum des Empfangsfeldes im N-dimensionalen Bezugsraum auf.

Ein zweidimensionaler Signalraum beschreibt eine Fläche im, hier dreidimensionalen, Bezugsraum. Die Lage der Fläche wird durch die beiden Signaleigenvektoren bestimmt.
Ein zweidimensionaler Signalraum beschreibt eine Fläche im, hier dreidimensionalen, Bezugsraum. Die Lage der Fläche wird durch die beiden Signaleigenvektoren bestimmt. Der Messvektor beschreibt eine Kurve deren Verlauf durch die möglichen  Linearkombinationen der Signaleigenwerte bestimmt wird.

Zusammengefasst gilt für den Messvektor:

Formel85

Er stellt die Ausgangspannung jedes Antennenelementes als Linearkombination der beteiligten Wellen dar. Aus der folgenden Gleichung wird ersichtlich, dass der Messvektor gleich dem Signalvektor sein kann (korrelatives Interferometer), wenn das entsprechende Signal die dominierende Größe in der Linearkombination aufweist bzw. das einzig vorhandene Signal ist (und der Signal-Rauschabstand groß genug ist).

Formel86

In der vorhergehenden Gleichung sind die gesuchten Parameter des Empfangsfeldes (Amplitude und Einfallsrichtung der beteiligten Wellen) in Form einer Vektorsumme dargestellt. Die Vektorsumme lässt sich in eine Richtungsmatrix und einen Signalvektor überführen:

Formel87

bzw.:Formel88


In der Praxis überlagern sich rauschartige Störungen aus den Empfangszügen additiv zur gemessenen Antennenspannung. Diese Störung können in der Regel als unkorreliert und gleich groß angenommen werden [1]. Für die Ausgangsspanung der Antennengruppe zum Zeitpunkt t folgt somit:

Formel89

Der Messvektor setzt sich somit immer aus einem Signal- (dem Signalraum) und einem Rauschanteil (dem Rauschraum) zusammen. Nimmt der M-dimensionale Signalraum weniger als alle Dimensionen des N-dimensionalen Bezugsraum ein, füllt der Rauschraum jene N-M Dimensionen auf. Dies kann bei auf dem Signalraum basierenden Unterraum-Methoden, je nach Signal-Rausch-Verhältnis zu einer Streuung des Peilwertes führen.

Der Rauschraum füllt die verbleibende Dimension des dreidimensionalen Bezugsraumes auf. Hierdurch wird die Ortskurve des zweidimensionalen Signalraumes mit einem Rauschprozess überlagert.
Der Rauschraum füllt die verbleibende Dimension des dreidimensionalen Bezugsraumes auf. Hierdurch wird die Ortskurve des zweidimensionalen Signalraumes mit einem Rauschprozess überlagert.
Messvektor bei zweidimensionalen Signalraum und additiv überlagertem Rauschen. Der Rauschraum füllt die verbleibende Dimension des dreidimensionalen Bezugsraums auf.
Messvektor bei einem zweidimensionalen Signalraum und additiv überlagertem Rauschen.

Während Verfahren wie das korrelative Interferometer auf der Annahme basieren, dass es ein die Linearkombination dominierendes Signal gibt und somit von der Tatsache profitieren, dass der Mess- gleich dem Richtungsvektor dieses Signales ist, benötigt man zum identifizieren der Richtungsvektoren aller beteiligten Wellen eine weitere Auswertung der Datenmatrix.

Überführt man die Datenmatrix X in die Korrelationsmatrix der Messvektoren können durch eine Hauptachsentransformation die Eigenvektoren (diese entsprechen den Richtungsvektoren der einfallenden Wellen) und Eigenwerte (diese entsprechen der Amplitude der Wellen) des Empfangswellenfeldes identifiziert werden. Durch einen Wellenschätzer ist eine Trennung von Signal- und Rauchraum möglich.

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