Signalraum


Als Signalraum bezeichnet man einen M-dimensionalen Unterraum der N-dimensionalen Korrelationsmatrix. Zur Bestimmung der Lage des Signalraumes ist eine Hauptachsen-transformation der Korrelationsmatrix erforderlich. Zum Signalraum zählen jene Richtungen (Eigenvektoren des Eigensystems der Korrelationsmatrix) deren Varianzen (Eigenwerte) am größten sind.

Alle restlichen N-M Dimensionen werden dem sogenannten Rauschraum der Korrelationsmatrix zugeordnet.

    zwei dimensionaler Signalraum (blaue Fläche) aufgespannt durch die Signalraum-Eigenvektoren (s, lila) umrahmt von zeitlichen Verlauf des N-dimensionalen Messvektors (x, dunkelblau)
Zweidimensionaler Signalraum (blaue Fläche) aufgespannt durch die Signalraum-Eigenvektoren (s, lila) umrahmt von zeitlichen Verlauf des N-dimensionalen Messvektors (x, dunkelblau). Der Rauschraum (eindimensional, rot) steht orthogonal auf dem Signalraum.

Peilverfahren, die auf der Auswertung der Korrelationsmatrix der Antennengruppe basieren (sogenannte Unterraum-Methoden), nutzen den Signalraum und dessen Schnittpunke mit der Gruppenmannigfaltigkeit um die Richtungen der einfallenden Wellen zu bestimmen.

Fallen M nichtkorrelierte (linear unabhängige) Signale auf eine Antennengruppe mit N Antennenelmenten ein, so spannen die Signale einen M dimensionalen Unterraum auf. Will man alle Signale auflösen, muß für die Dimension des Signalraums: M ≤ N gelten. Ist dies nicht gewährleistet können nur die stärksten Signalen gepeilt werden bzw. es kann, je nach Verhältnis der Signale zueinander, zu Fehlpeilungen kommen.

Einige Peilverfahren (wie MUSIC und ESPRIT) führen eine Projektion des Referenzvektors auf den Rauschunterraum aus, um die Auflösung gegenüber auf dem Signalraum basierten Methoden (Pisarenko) zu verbessern. Hierbei muß folglich M < N gelten.

Der Signalraum weißt folgende Eigenschaften auf:

    • er steht orthogonal auf dem Rauschraum,
    • die ihn aufspannenden Signaleigenvektoren bilden ein Orthogonalsystem und
    • seine Eigenwerte sind reell.

Bei einem eindimensionalen Signalraum handelt es sich um eine Linie die im N-dimensionalen Bezugsraum liegt und deren Richtung fest (durch den Signaleigenvektor) vorgegeben ist, denn die Phasendifferenzen der Antennenelemente einer Antennengruppe sind für den Einfall einer Welle, aus einer bestimmten Richtung, unveränderlich. Die Länge der Linie kann bei verschiedenen Messungen, abhängig von der Amplitude des Sendesignals, variieren.

Ein eindimensionaler Signalraum stellt eine Linie variabler Länge, aber gleicher Richtung, im Bezugsraum dar.
Ein eindimensionaler Signalraum stellt eine Linie variabler Länge, aber gleicher Richtung, im Bezugsraum (hier dreidimensional) dar.

Für Messvektor x gilt bei Einfall einer Welle ohne Rauschen:

Formel72

wobei s(t) ein Skalar darstellt welches die Amplitude des Signals repräsentiert. Der Messvektor x(t) zeigt in Richtung der einfallenden Welle s(α). In diesem Fall kann der Peilwert durch Korrelation des Messvektors mit der Gruppenmannigfaltigkeit gefunden werden (auf diesem Prinzip basiert der korrelative Interferometerpeiler).

Bei einem zweidimensionalen Signalraum handelt es sich (im Falle von nicht vollständig korrelierten Signalen) um eine, durch die beiden Signaleigenvektoren aufgespannte, Fläche im N-dimensionalen Bezugsraum. Der Messvektor beschreibt eine Kurve die aus den Linearkombinationen der beiden Signaleigenvektoren resultiert und kann sich frei auf der aufgespannten Fläche bewegen.

Die Schnittpunkte der, durch die die beiden Signaleigenvektoren aufgespannten, Fläche und der Gruppenmannigfaltigkeit der Antenne ergeben die gesuchten beiden Welleneinfallsrichtungen.

Ein zweidimensionaler Signalraum beschreibt eine Fläche im, hier dreidimensionalen, Bezugsraum. Die Lage der Fläche wird durch die beiden Signaleigenvektoren bestimmt.
Ein zweidimensionaler Signalraum beschreibt eine Fläche im, hier dreidimensionalen, Bezugsraum. Die Lage der Fläche wird durch die beiden Signaleigenvektoren bestimmt.

Für Messvektor x gilt bei Einfall zweier Wellen ohne Rauschen:

Formel73

seine Bahn beschreibt eine Kurve im N-dimensionalen Bezugsraum die aus den möglichen Linearkombinationen der beiden Eigenvektoren ensteht.

Bei voll korrelierten Signalen wirkt das Modulationssignal auf die beiden Richtungsvektoren
für jeden Zeitpunkt in gleicher Weise. Somit stellt der Signalraum eine Gerade dar, welche die Gruppen-Mannigfaltigkeit nicht schneidet.


Es ist ersichtlich das die Kenntnis über die Eigenschaften des Signalraums eine direkte Schätzung der:

    • Anzahl der vorhandenen Sender,
    • Einfallsrichtungen der Wellen und der
    • Modulationsform der Sendesignale

ermöglicht.

Die Eigenschaften des Signalraums (Anzahl der Dimensionen und seine Lage im Bezugsraum) können durch eine Karhunen-Loève-Transformation (Eigenwertzerlegung, EWZ) der Korrelationsmatrix R der Antennenspannungen  gewonnen werden:

Formel70

Die Trennung des Signalraums vom Rauschraum obliegt einem Wellenschätzer.

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