Gruppenmannigfaltigkeit


Zur Lösung des Peilproblems benötigen Peilverfahren ein Modell der Empfangseigenschaften der Peilantenne. Bei der Gruppenmannigfaltigkeit (GMF, eng. Array-Manifold) handelt es sich um solch ein mathematisches Modell zur Charakterisierung der Empfangseigenschaften einer Antennengruppe unter Berücksichtigung verschiedener Parameter (Azimut, Elevation, Polaristion, Frequenz).

Zur Herleitung der GMF wird eine Beschreibung des Verhaltens der Antennengruppe benötigt. Diese kann entweder durch systemtheoretische Herleitung der Empfangscharakteristik mathematisch gewonnen werden, oder durch eine Vermessung der Antennengruppe sowie Speicherung der aufgenommenen Messdaten. Die Gruppenmannigfaltigkeit ist proportional der kompensierten Richtcharakteristik der Peilantenne.

Gruppenmannigfaltigkeit einer drei-elementigen Antenngruppe (Skizze, nur Azimut der einfallenden Welle betrachtet).
Bei einer drei-elementigen Antenngruppe handelt es sich, wenn nur das Azimut der einfallenden Welle als Parameter in das Modell eingeht, bei der GMF um eine Kurve die im, durch die Antennen aufgespannten, N-dimensionalen Raum liegt.

Wird der bei einer festen Frequenz in einem Peilszenario betrachte Welleninfallswinkel α (der Azimutwinkel der einfallenden Welle) kontinuierlich um 360° um die Antennegruppe, bezogen auf eine Referenzrichtung, variiert zeichnet der resultierende Antennenvektor a(α) (auch Richtungsvektor oder Richtstrahl, engl: „steering vector“) eine Kurve im N-dimensionalen Raum (N entspricht hierbei der Anzahl der linear unabhängigen Antennenelemente der Antennengruppe). Die Gesamtheit aller Richtungsvektoren wird als GMF bezeichnet und charakterisiert die Antennengruppe für den Parameter α und die gewählte Frequenz, bis auf eventuelle Verlust- oder Verstärkungsfaktoren, vollständig.

Wird hingegen Azimut und Elevation der einfallenden Welle betrachtet, ist die GMF zweidimensional, eine Fläche die, wie ein Stück Papier, im N-dimensionalen Raum liegt.

Gruppenmannigfaltigkeit einer Antenne bei Betrachtung von Azimut und Elevation.
Gruppenmannigfaltigkeit einer Antenne bei Betrachtung von Azimut und Elevation.

Wenn zusätzlich die Polarisation der elektromagnetischen Welle betrachtet wird handelt es sich bei der GMF um zwei Flächen (Elevation und Azimut) bzw. Kurven (nur Azimut) im N-dimensionalen Raum.

Gruppenmannigfaltigkeit bei Betrachtung von Azimut und Polarisation.
Gruppenmannigfaltigkeit bei Betrachtung von Azimut und Polarisation.

Für allgemeine Betrachtungen ist die es ausreichend die Eigenschaften der GMF anhand des Azimut-Falls zu betrachten da die Hinzunahme weiterer Dimensionen nichts an dem eigentlichen Verhalten der GMF verändert.


Für eine eindeutige Peilung ist es unerlässlich das die GMF keinerlei Doppeldeutigkeiten in ihrem Verlauf aufweist. Jeder Punkt auf der Kurve muß eindeutig einer Einfallsrichtung zuordenbar sein. Ist dies nicht der Fall kommt es zu sogenannten Doppeldeutigkeiten n-ten Rangs.

Doppeldeutigkeiten ersten Rangs im Verlauf der GMF. Zu einer Einfallsrichtung existieren zwei verschiedene Antennenvektoren.
Doppeldeutigkeiten ersten und zweiten Rangs im Verlauf der GMF. Zu zwei Einfallsrichtungen existiert nur ein Antennenvektor. Kommt sich die GMF an zwei Punkten sehr Nahe ist die Wahrscheinlichkeit eines Peilwertsprunges auf einen falschen Wert hoch.

Ingesamt unterscheidet man bei den Doppeldeutigkeiten (DD) der GMF drei Fälle [1]:

    1. DD ersten Rangs: die GMF schneidet sich in einem Punkt a(α¹) = a(α²) oder unterwandert sich a(α¹) = b × a(α²). Beides stellt eine Folge von linearen Abhängigkeiten der Antennenelemente untereinander dar.
    2. DD zweiten Rangs: die Fläche die von zwei Vektoren a(α¹), a(α²) der GMF aufgespannt wird stellt eine Teilmenge eines dritten Vektors a(α³) dar. Dies bedeutet der Informationsgehalt der im Vektor a(α¹), a(α²) und a(α¹), a(α³) sowie a(α³), a(α²) enthalten ist kann nicht voneinander unterschieden werden (und somit nimmt die Anzahl der Freiheitsgrade zur Richtungsschätzung ab).
    3. DD n-ten Rangs: siehe DD zweiten Ranges unter Berücksichtigung von einer n Dimensionalen GMF

Antennen die als kollineare Kreisgruppe (UCA, uniform circular array) oder Linearzeile (ULA, uniform linear array) aufgebaut sind können keine Doppeldeutigkeiten vom Rang > 1 aufweisen [1].


Am Beispiel der Kreuzrahmenantenne soll die Herleitung der GMF im Folgenden verdeutlicht werden:

Aus der orthogonalen Anordnung der Rahmenantennen folgt für die Fußspannung dieser (bei hinreichend kleinem Verhältnis der Wellenlänge zum Rahmendurchmesser):

Formel16

Die GMF gehorcht damit der Gleichung:

Formel69

und folgt damit einem Kreis.

Gruppenmannigfaltigkeit einer Kreuzrahmenantenne.
Gruppenmannigfaltigkeit einer Kreuzrahmenantenne.

[1] „A Signal Subspace Approach To Multiple Emitter Location And Spectral Estimation“, Ralph Otto Schmidt, Stanford Universität – 1982

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