korrelativer Interferometerpeiler


Beim korrelativen Interferometerpeiler (korr.-If.-Peiler) handelt es sich um einen Phasenpeiler der die Einfallsrichtung einer von einem Sender ausgestrahlen elektromagnetischen Welle durch Projektion des Messvektors x auf die Gruppenmannigfaltigkeit einer Antennengruppe schätzt.

Formel57

Dies ist nicht zu verwechseln mit dem Interferometerpeiler, der das Peilergebnis durch direkte Auswertung der Phasenbeziehungen gewinnt.

Prinzipschaltung eines dreizügigen korrelativen Interferometerpeilers
Prinzipschaltung eines dreizügigen korrelativen Interferometerpeilers

Beim korr.-If.-Peiler kann es sich um einen ein- oder mehrzügigen Peiler handeln, wobei sich mit der Anzahl der Empfangszüge die Peileigenschaften ändern (siehe Mehrzügigkeit). Wichtige Parameter für die Konzeptionierung der Empfangs- und Peileigenschaften des korr.-If.-Peiler sind:

    • die Anzahl der Antennenelemente und
    • die Anzahl der verwendeten Empfangszüge sowie
    • die Apertur der Antennengruppe.

Randbedingungen

Der korr.-If.-Peiler zeichnet sich durch die Verwendung von digitaler Signalverarbeitung aus und erziehlt unter Einhaltung einiger, durch den ML-Schätzer vorgegebenen, Randbedingungen eine sehr hohe Peilgenauigkeit und Störfestigkeit. Je nach verwendetem Korrelationsmuster kann der korr.-If.-Peiler das komplette Frequenzband von der Langwelle (LF) bis zur Zentimeterwelle (SHF) abdecken. Die durch den Schätzer vorgegebenen Randbedingungen lauten:

    1. es darf nur eine Welle (ein unbekannter Parameter) auf die Antenne einfallen,
    2. das Signal muß stationär sein,
    3. dem Signal muß ein normalverteilter Prozess zugrunde liegen,
    4. es sind mindestens zwei Antennenelemente (Schätzung des Azimuts) nötig,
    5. für die Elevationsauswertung gilt: je mehr sich der Elevationswinkel 90° nähert (Welle fällt von oben auf die Antenne ein) desto ungenauer wird die Schätzung.
    6. weiterhin muß die Anzahl der Proben (die Anzahl der Abtastungen der Antennenspannungen) groß genug sein um ein statistisches Modell zu generieren.

Aus der ersten Bedingung, die aus dem Schätzmodell resultiert folgt, dass bei Mehrwellenszenario die Störsignale höchstens die Hälfte der Leistung des zu peilenden Signals haben haben dürfen. Andernfalls liegt der Messvektor nicht parallel zum Richtungsvektor des Nutzsignals (der Richtungsvektor folgt dann einer Linearkombination der beteiligten Wellen).

Die zweite Bedingung beschreibt die Signalquelle welche während der Messung nicht den Ort verändern darf und muß kontiniuierlich senden muß.

Die dritte Bedingung resultiert aus der Likelihood-Funktion des ML-Schätzers welche auf eine normalverteilte Größe optimiert wurde und daher die besten Ergebnisse liefert, wenn der Schätzer auf eine normalverteilte Größe angewendet wird (die Kostenfunktion muß Normalverteilung folgen).

Die Bedinungungen vier und fünf resultieren aus der Fisher-Information und stellen die untere Schranke für den ML-Schätzer dar. Weil bestimmte statistische Größen, wie der Erwartungswert, mehr als eine Stichprobe benötigen um berechnet werden zu können und um zu gewährleisten, dass die Verteilung ausgeprägt werden kann muß Bedingung sechs erfüllt sein.


Funktionsprinzip

Der korr.-If.-Peiler besteht aus einer Peilantenne, einem Peilkonverter, einem Peilprozessor und einer Ausgabe-Einheit.

Die Peilantenne dient der Entnahme von Proben aus dem elektromagnetischen Feld der einfallenden Welle. Die Antennenelemente sind kreisförmig angeordnet (symmetriebedingte Peilfehler aufgrund von Koppelung der Antennenelemente untereinander sind bei der Kreisform geringer als bei anderen Formen z.B: der „L-Gruppe“) und werden durch eine Schaltmatrix abgetastet (daher auch: Aperturabtastung).

R&S ADD153SR, eine Peilantenne mit neun Elementen die zur Peilung mir dem korr.-If.-Peilverfahren eingesetzt wird. [Quelle]
R&S ADD153SR, eine Peilantenne mit neun Elementen die zur Peilung mir dem korr.-If.-Peilverfahren eingesetzt wird. [Quelle]

Im Peilempfänger werden die über die Empfangszüge zugeführten Antennenspannungen (der Messvektor), nachdem sie ins Basisband überführt und in den Frequenzbereich gewandelt wurden, aufeinander bezogen um die Phasendifferenz zwischen den Antennenelementen zu gewinnen. Die von der Antenne gewonnen Spannungen lauten (im folgenden am Beispiel einer dreielementigen Kreisgruppenantenne mit dem Radius r erläutert; α entspricht dem Azimut; auf eine Elevationsbetrachtung wurde der Übersichtlichkeit halber verzichtet):

Formel97

Nach der Bilden der Phasendifferenzen der Antennenelementspannungen zueinander folgt (unter Annahme gleicher, vom Welleneinfall unabhängiger Antennencharakteristik und ohne Kopplung zwischen den Antennenelementen):

Formel98

Der im Peilprozessor befindliche Korrelationskern hat nun, basierend auf den berechneten Phasendifferenzen, folgende Aufgaben:

  1. die Bildung eines Erwartungswertes durch Vorberechnung der Antennenspannungen und Referenzierung dieser (über Azimut und, wenn erforderlich, Elevation)
  2. die Korrelation von Referenzwerten und Messvektor
  3. die Maximumsuche im Korrelationsgebirge (über Azimut und, wenn erforderlich, Elevation)

Für die Schätzung des Peilwinkels auf Basis eines ML-Schätzers ist es nötig die an der Antenne gemessenen Phasendifferenzen mit einem Muster zu vergleichen. Dieses Muster repräsentiert die idealen Antennenspannungen die bei Welleneinfall von einer konkreten Richtung (Elevation und Azimut) auftreten würden. Daraus resultieren Referenzvektoren in Form einer Matrix, die für jedes Azimut die drei theoretisch zu erwartenden Phasendifferenzen beinhaltet.

Formel99

Bildlich dargestellt zeichnet diese Matrix ein Kurve im (hier dreidimensionalen) orthogonalen Bezugsraum, der von den Antennenelementen aufgespannt wird. Diese Kurve wird auch als Gruppenmannigfaltigkeit bezeichnet.

Gruppenmannigfaltigkeit einer drei-elementigen Antenngruppe (Skizze).
Gruppenmannigfaltigkeit einer drei-elementigen Antenngruppe (Skizze).

Der, über die Zeit, gewonnene Messvektor spannt im (hier dreidimensionalen) Bezugsraum der Antennengruppe einen Signalraum auf. Für den Fall einer einfallenden Welle ist dieser eindimensional, er entspricht einer Linie durch den Ursprung des Bezugssystems (die sich im Betrag aber nicht der Richtung ändern kann). Der Schnittpunkt des Messvektors (der beim Einwellenszenario gleich dem Richtungsvektor der Welle ist) und der Gruppenmannigfaltigkeit entspricht, im rauschfreien Fall, dem Richtungswinkel der Welle.

Der Schnittpunkt des Signalraums (grün, hier eindimensional) mit der Gruppenmannigfaltigkeit ist die gesuchte EInfallsrichtung der Welle.
Der Schnittpunkt des Messvektors x(t) (der dem Eigenvektor des Signalraums (grün),entspricht) mit der Gruppenmannigfaltigkeit ist die gesuchte Einfallsrichtung der Welle. Das Skalarprodukt ist für diesen Azimutindex am größten.

Zur Bestimmung des Schnittpunktes von Gruppenmannigfaltigkeit und Signalraum kann das vektorielle Skalarprodukt verwendet werden. Die Lösung der Peilaufgabe ergibt sich aus der Suche des Richtungsvektors, der zum Messvektor parallel liegt. Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist dann am größten, wenn beide Vektoren parallel zueinander liegen. Bildet man das Skalarprodukt zwischen dem Messvektor und dem Richtungsvektor (Spalten der Referenzmatrix) so erhält man den größten Wert für das Skalarprodukt bei jener Matrixspalte, deren Azimutindex in Richtung des Messvektors zeigt.

Beispiel einer Korrelation des Messvektors v mit der Gruppenmannigfaltigkeit A. Die Phasen-differenzen sind zum besseren Verständnis in Farben umgewandelt wurden. Der Farbbalken (Messvektor) wird über die Gruppenmannigfaltigkeit geschoben. Dort wo sich die beiden "Farbvektoren" am meisten ähneln ergibt sich der Maximalwert des Schätzers und somit die Einfallsrichung der Welle.
Beispiel einer Korrelation des Messvektors x(t) mit der Gruppenmannigfaltigkeit A. Die Phasen-differenzen sind zum einfacheren Verständnis in Farben kodiert. Der Farbbalken (Messvektor) wird über die Gruppenmannigfaltigkeit geschoben. Dort wo sich die beiden „Farbvektoren“ am meisten ähneln ergibt sich der Maximalwert des Schätzers und somit die Einfallsrichung der Welle.
Real und Imaginärteil der Differenzspannungen der Antennenelemente einer 7-elementigen Antenne. Der Messvektor (blau) deckt sich mit dem Richtungsvektor (rot) der einem Welleneinfallswinkel von 10 Grad Azimut entspricht. Zusätzlich ist der Vektor (grün) für einen Welleneinfall von 19 Grad eingezeichnet.
Real- und Imaginärteil der Differenzspannungen der Antennenelemente einer 7-elementigen Antenne. Der Messvektor (blau) deckt sich mit dem Richtungsvektor (rot) der einem Welleneinfallswinkel von 10 Grad Azimut entspricht. Zusätzlich ist der Vektor (grün) für einen Welleneinfall von 19 Grad eingezeichnet.

mathematische Herleitung

Der im vorherigen Abschnitt bildlich dargestellte Weg zur Ermittlung des Einfallswinkels der Welle wird mathematisch durch die Lösung eines Schätzproblems umgesetzt. Um die Kostenfunktion des ML-Schätzers zu ermitteln wird ein Modell, welches den statistischen Prozess des Peilszenarios beschreibt, benötigt.

Das zum Zeitpunkt t an der Antennegruppe empfangene Signal lässt sich wie folgt modellieren (Herleitung siehe statistischer Modellansatz für ML-Schätzer):

formel60

hierbei steht der Vektor a (der Dimension N, wobei N für die Anzahl der Antennenelemente der Gruppe steht) für den, durch die Charakteristik und Position der Antenne bestimmten Teil der gemessenen Ausgangsspannung. Der Vektor s beschreibt die Form und Amplitude (in Form der komplexen Einhüllenden des Signals) des auf die Antennengruppe einfallenden Signals. Der Term n beschreibt den Anteil der additiven Störungen (in Form von weißem Rauschen) die in den Zügen des Empfängers durch aktive Elemente entstehen.

Nachdem die Kostenfunktion aufgestellt ist, kann die Likelihood-Funktion, unter der Annahme eines normalverteilten Prozesses und der Vereinfachung von einer Stichprobe (einer gemessenen Antennenspannung), wie folgt modelliert werden:

Formel64

Nach einigen Vereinfachungen ergibt sich:

Formel65und hernach folgt:

Formel66

Der ML-Schätzer (Korrelationskoeffizient) für die Einfallsrichtung der Welle lautet:

Formel67

Die Lösung des Schätzproblems ist somit definiert als Maximum des Realteils der ML-Funktion (auch als Korrelationsgebirge bezeichnet). Die ML-Funktion beschreibt die Korrelation des hermitschen (in diesem Fall gleich dem konjugiert komplexen) Messvektors der Antennenspannungen  mit der Musterfunktion der Antennenspannungen (Gruppenmannigfaltigkeit). Der Zusammenhang zur bildlichen Lösung ergibt sich durch die Interpretation der Lösung des Schätzers als Skalarprodukt, das über jeden Eintrag der Gruppenmannigfaltigkeit (Index α) berechnet wird.

Die angesprochene Fisher-Information zur Herleitung der, zu Beginn des Artikels beschriebenen, Randbedingungen des Schätzers lautet:

Formel68

Eine weitere Einschränkungen des ML-Schätzers ist durch die Apertur der Antenne gegeben. Je geringer die Phasendifferenz zwischen den Antennenelementen ist (je größer die Wellenlänge im Verhältnis zum Abstand der Antennenelemente), desto geringer ist der Gradient des Korrelationskoeffizienten. Bei sehr kleiner Apertur der Antenne unterscheidet sich der Korrelationskoeffizient zwischen zwei Einfallsrichtungen nur noch minimal, (zum Beispiel: in der dritten Nachkommastelle) sodass ein Maximum im Korrelationsgebirge schwer aufindbar ist (oder an falscher Stelle liegt).

Korrelationskoeffizient bei verschiedener Apertur der Antenne.
Der Korrelationskoeffizient bei verschiedener Apertur der Antenne. Im roten Fall ist der Gradient des Koeffizienten zu klein um ein Maximum auszubilden, somit kommt es zu Peilfehlern.

Der korrelative Interferometerpeiler zeichnet sich durch folgende Eigenschaften aus:

    • hohe Peilgenauigkeit und Empfindlichkeit durch Großbasis-System
    • keine Polaristionsfehler (sondern Verringerung der Empfindlichkeit des Peilers)
    • Immunität gegen Reflexionen (die kleiner als die Hälfte der Nutzsignalleistung aufweisen)
    • Peilung sehr kurzer Pulse möglich (je nach Anzahl der Empfangszüge)
    • verdünnte Antennegruppe erlaubt großen Betriebsbereich (0,1 < Apertur < 6)

Hinweis:

Anstelle der Phasen der Antennenelemente (die sich zu jedem Messzeitpunkt t ändern) wird in der Praxis die Phasendifferenz der Antennenelemente zueinander gemessen bzw. in der Gruppenmannigfaltigkeit berechnet. Die über die Zeit gemessenen Phasendifferenzen (Stichproben) werden arithmetisch gemittelt und dann dem Schätzer zugeführt. Die arithmetische Mittelung stellt für einen normalverteilen Prozess den ML-Schätzer für den Erwartungswert der Zufallsgröße dar.

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